设 (M) 是一个拓扑空间。按照 Munkres 的定义，(M) 是一个 无边界 的 (k) 维流形，需要满足：
- (M) 是 Hausdorff 空间；
- (M) 满足第二可数性；
- 对每个 (p \in M)，存在开邻域 (U \subset M) 以及同胚
$$ \varphi: U \to V \subset \mathbb{R}^k, $$
其中 (V) 必须是 (\mathbb{R}^k) 中的开集。
这个条件有意排除了闭半空间
$$ \mathbb{H}^k={x\in\mathbb{R}^k\mid x_k\ge 0} $$
这样的局部模型。半空间只会出现在“有边界流形”的框架里。
为什么半空间不被允许
若某个坐标图把点 (p) 映到 (\partial \mathbb{H}^k)，也就是 (x_k=0) 的边界超平面，那么这个像点在 (\mathbb{R}^k) 中没有完全落在半空间内部的开邻域。
这与无边界流形的要求冲突：坐标图的像必须是 (\mathbb{R}^k) 中的开集，而不是只在半空间的相对拓扑中开。
坐标变换的稳定性
若 ((U,\varphi)) 和 ((U’,\psi)) 是两个坐标图，那么转移映射
$$ \psi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap U’)\to\psi(U\cap U’) $$
应该是在 (\mathbb{R}^k) 的开子集之间定义的同胚。若某个图落在半空间边界上，这个“开子集之间”的结构就会被破坏。
结论
Munkres 的定义把无边界流形的局部模型固定为 (\mathbb{R}^k) 的开集。这样做牺牲了一些边界例子，但换来了非常干净的理论环境：每个点都是真正的内点，坐标变换也始终发生在欧氏空间的开集之间。